Question

已知點(diǎn)P（-3，2）在拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P的直線與拋物線C相切于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為（　�。�

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，求出準(zhǔn)線方程x=-3，再求出p，從而得到拋物線方程，寫出第一象限和位于第四象限的拋物線方程，分別設(shè)出切點(diǎn)，并求導(dǎo)，得到相應(yīng)切點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后再由兩點(diǎn)的斜率公式求出BF的斜率．

解答： 解：∵點(diǎn)P（-3，2）在拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線上，
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-

p

2

，
∴-

p

2

=-3，
∴p=6，
∴y²=12x，
拋物線C：y²=12x，在第一象限的方程為y=2

3

x

，
設(shè)切點(diǎn)A（m，n），則n=2

3

m

，
由導(dǎo)數(shù)，得 y′=2

3

×

1

2

1

x

=

3

x

，
∴在切點(diǎn)A處的斜率為

3

m

，
∴直線PA的方程為：y-n=

3

m

（x-m）．
將點(diǎn)（-3，2）代人，得到
2-n=

3

m

（-3-m） ①，
n=2

3

m

 ②，
∴

m= 11+2 10 3 n=2+2 10

，
∴A（

11+2 10

3

，2+2

10

），
同理，可以設(shè)切點(diǎn)B（a，b），得到在該點(diǎn)處的斜率為-

3

a

，
∴直線PB的方程為：y-b=-

3

a

（x-a）．
將點(diǎn)（-3，2）代人，得到
2-b=-

3

a

（-3-a） ③
b=-2

3

a

  ④
解得

a= 11-2 10 3 b=2-2 10

，
∴B（

11-2 10

3

，2-2

10

），
∴直線AB的斜率為：

(2+2 10 )-(2-2 10 )

11+2 10 3 - 11-2 10 3

=3，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了切線方程、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、斜率公式、直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．重點(diǎn)考查運(yùn)算能力．