Question

【題目】已知點列為函數(shù)圖像上的點，點列順次為軸上的點，其中，對任意，點構(gòu)成以為頂點的等腰三角形.

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列中任意連續(xù)三項能構(gòu)成三角形的三邊，求的取值范圍；

（3）求證：對任意，是常數(shù)，并求數(shù)列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）； （3）證明見解析；

【解析】

（1）因為，所以，得到為等比數(shù)列；

（2）要使數(shù)列中任意連續(xù)三項能構(gòu)成三角形的三邊，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到不等式，解得.

（3）因為為常數(shù)，所以，，，及，，，都是公差為2的等差數(shù)列，分別求出通項公式即可；

解：（1），，是以為首項，為公比的等比數(shù)列

（2）由（1）知，要使數(shù)列中任意連續(xù)三項能構(gòu)成三角形的三邊，

即，，

所以需滿足即解得

即

（3）依題意，，，，，

，，，，為常數(shù)

，，，，及，，，都是公差為2的等差數(shù)列，

，，