Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若,都有,求實數(shù)的取值范圍;

(3)證明: 且).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：(1) ,分兩種情況討論的符號,即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論,求出函數(shù)的最大值,即可得出結(jié)論;

(3)由(2)知: 時, 在上恒成立,且在上單調(diào)遞減, ,所以在上恒成立,令,則,再利用放縮法即可證明結(jié)論.

試題解析：

(1)函數(shù)的定義域為,

①若時, 時, ,

的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;

②時, 恒成立, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,

綜上①②知: 時, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,無單調(diào)遞減區(qū)間;

時, 的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

(2)由(1)知:當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增,且,

恒成立是假命題;

當(dāng)時,由(Ⅰ)知: 是函數(shù)的最大值點,

,

,

故的取值范圍是.

(3)證明:由(2)知: 時, 在上恒成立,

且在上單調(diào)遞減, ,

,即在上恒成立.

令,則,即,

,

=,

故且).