Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx，且函數(shù)y=f（x）-$\frac{3}{2}$x²在x=1和x=2處取得極值
（1）求a，b的值
（2）設(shè)g（x）=x（lnx-1），若對(duì)任意x₁∈R，存在x₂∈（0，+∞），使f′（x₁）-g′（x₂）=1，則x₂²-x₁²是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，檢驗(yàn)即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$=${{x}_{2}}^{2}$-lnx₂+1，令h（x）=x²-lnx+1（x≥e），求出h（x）的最小值，從而求出答案即可．

解答 解：（1）由已知y=f（x）--$\frac{3}{2}$x²=ax³-$\frac{3}{2}$x²+bx，
得y′=3ax²-3x+b，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{3a-3+b=0}\\{12a-6+b=0}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{1}{3}$，b=2，
經(jīng)檢驗(yàn)，所求a，b滿足題意；
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{3}$x³+2x，f′（x）=x²+2，
又g′（x）=lnx，由f′（x₁）-g′（x₂）=1得${{x}_{1}}^{2}$+2-lnx₂=1，
∴${{x}_{1}}^{2}$+1=lnx₂，
由于${{x}_{1}}^{2}$+1=lnx₂⇒lnx₂≥1⇒x₂≥e，
那么${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$=${{x}_{2}}^{2}$-lnx₂+1，
令h（x）=x²-lnx+1（x≥e），
則h′（x）=$\frac{{2x}^{2}-1}{x}$＞0，
∴函數(shù)h（x）在[e，+∞）遞增，
于是h（x）_min=h（e）=e²，
x₂²-x₁²是存在最小值為e²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)極值的意義，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．