Question

12．如圖中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作a₁=1，第2個(gè)五角形數(shù)記作a₂=5，第3個(gè)五角形數(shù)記作a₃=12，第4個(gè)五角形數(shù)記作a₄=22，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則a_n=$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題目所給出的五角形數(shù)的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的特點(diǎn)是，從第二項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差構(gòu)成了一個(gè)新的等差數(shù)列，寫出對(duì)應(yīng)的n-1個(gè)等式，然后用累加的辦法求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后代入項(xiàng)求項(xiàng)數(shù)．

解答 解：a₂-a₁=5-1=4，a₃-a₂=12-5=7，a₄-a₃=22-12=10，…，
由此可知數(shù)列{a_n+1-a_n}構(gòu)成以4為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列．
所以a_n+1-a_n=4+3（n-1）=3n+1．
a₂-a₁=3×1+1
a₃-a₂=3×2+1
…
a_n-a_n-1=3（n-1）+1
累加得：a_n-a₁=3（1+2+…+（n-1））+n-1
所以a_n=a₁+3×$\frac{n（n-1）}{2}$+n-1=$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．
故答案為$\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解答此題的關(guān)鍵是能夠由數(shù)列的前幾項(xiàng)分析出數(shù)列的特點(diǎn)，即從第二項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差構(gòu)成了一個(gè)新的等差數(shù)列，本題訓(xùn)練了一種求數(shù)列通項(xiàng)的重要方法--累加法．