已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點,半焦距為c,直線x=-
a2
c
與x軸的交點為N,滿足
F1F2
=2
NF1
,|
F1F2
|=2
,設(shè)A、B是上半橢圓上滿足
NA
NB
的兩點,其中λ∈[
1
5
,
1
3
]

(1)求橢圓的方程及直線AB的斜率k的取值范圍;
(2)過A、B兩點分別作橢圓的切線,兩切線相交于一點P,試問:點P是否恒在某定直線上運動,請說明理由.
分析:(1)依據(jù)題意聯(lián)立方程求得a,b,則拖得方程可得.根據(jù)
NA
NB
判斷出A,B,N三點共線,進而設(shè)出直線AB的方程,與橢圓的方程聯(lián)立消去x,根據(jù)判別式大于0求得k的范圍,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則根據(jù)韋達定理,可表示出y1+y2和y1y2,利用
NA
NB
求得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2),聯(lián)立方程組消去y2,求得λ和k的關(guān)系,令φ(λ)=
(1+λ)2
λ
進而進行求導(dǎo),推斷函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)λ的范圍求得k的范圍.
(2)設(shè)出P的坐標,進而求得PA的方程,把點A代入,同時代入橢圓的方程,推斷出直線AB的方程,根據(jù)其過定點求得x0,進而推斷出點P恒在直線x=-1上運動.
解答:解:(1)由于
F1F2
=2
NF1
,|
F1F2
|=2
,
2c=
F1F2
|=2
a2
c
-1=
NF1
|=1
a2=b2+c2.

解得a2=2,b2=1,從而所求橢圓的方程為
x2
2
+y2
=1.
NA
NB
,∴A,B,N
三點共線,而點N的坐標為(-2,0).
設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2),其中k為直線AB的斜率,依條件知k≠0.
y=k(x+2)
x2
2
+y2=1
消去x得(
1
k
y-2)2+2y2=2
,即
2k2+1
k2
y2-
4
k
y+2=0

根據(jù)條件可知
△=(
4
k
)2-8•
2k2+1
k2
>0
k≠0.
解得0<|k|<
2
2
,依題意取0<k<
2
2

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則根據(jù)韋達定理,得y1+y2=
4k
2k2+1
y1y2=
2k2
2k2+1
,
又由
NA
NB
,得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2
,∴
x1+2=λ(x2+2)
y1y2.
從而
x1+2=λ(x2+2)
y1y2.

從而
(1+λ)y2=
4k
2k2+1
λ
y
2
2
=
2k2
2k2+1
.
消去y2
(1+λ)2
λ
=
8
2k2+1

φ(λ)=
(1+λ)2
λ
,λ∈[
1
5
,
1
3
]
,則φ′(λ)=(λ+
1
λ
+2)′=1-
1
λ2
=
λ2-1
λ2

由于
1
5
≤λ≤
1
3
,所以φ'(λ)<0.
∴φ(λ)是區(qū)間[
1
5
,
1
3
]
上的減函數(shù),從而φ(
1
3
)≤φ(λ)≤φ(
1
5
)
,
16
3
≤φ(λ)≤
36
5
,∴
16
3
8
2k2+1
36
5
,解得
2
6
≤|k|≤
1
2
,而0<k<
2
2
,∴
2
6
≤k≤
1
2

故直線AB的斜率的取值范圍是[
2
6
,
1
2
]

(2)設(shè)點P的坐標為(x0,y0),則可得切線PA的方程是y-y0=-
x1
2y1
(x-x0)
,
而點A(x1,y1)在此切線上,有y1-y0=-
x1
2y1
(x1-x0)
即x0x1+2y0y1=x12+2y12,
又∵A在橢圓上,∴有x0x1+2y0y=2,①同理可得x0x2+2y0y2=2.②
根據(jù)①和②可知直線AB的方程為,x0x+2y0y=2,而直線AB過定點N(-2,0),∴-2x0=2?x0=-1,
因此,點P恒在直線x=-1上運動.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內(nèi)容,問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等,而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大,故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力,平時應(yīng)作為重點來復(fù)習訓練.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•湖南)已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:
x25
+y2=1
的左、右焦點F1,F(xiàn)2關(guān)于直線x+y-2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b.當ab最大時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•青島二模)已知F1、F2分別是雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的左、右焦點,P為雙曲線右支上的一點,
PF2
F1F2
,且|
PF1
|=
2
|
PF2
|
,則雙曲線的離心率為( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a>0, b>0)
的左、右焦點,過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M,若點M在以線段F1F2為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點,且橢圓C的離心率e=
1
2
,F(xiàn)1也是拋物線C1:y2=-4x的焦點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點F2的直線l交橢圓C于D,E兩點,且2
DF2
=
F2E
,點E關(guān)于x軸的對稱點為G,求直線GD的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左,右焦點,P是雙曲線的上一點,若
PF1
PF2
=0
|
PF1
|•|
PF2
|=3ab
,則雙曲線的離心率是
 

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