Question

15．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，∠ABC=60°，四邊形BEFD是矩形，且BE=BA，平面BEFD⊥平面ABCD．
（1）求證：AE⊥CF；
（2）求二面角A-EF-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AE⊥CF．
（2）求出平面AEF的法向量和平面AEF的一個法向量，由此能求出二面角A-EF-C的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）連接AC，設BC=2AB=2，則AC=$\sqrt{1+4-2×1×2×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
∵AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵四邊形BEFD是矩形，且BE=BA，平面BEFD⊥平面ABCD，
∴BE⊥平面ABCD，
以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），E（1，0，1），C（0，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（-1，$\sqrt{3}$，1），
∴$\overrightarrow{AE}$=（1，0，1），$\overrightarrow{CF}$=（-1，0，1），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CF}$=（1，0，1）•（-1，0，1）=0，
故AE⊥CF．
解：（2）A（0，0，0），E（1，0，1），C（0，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（-1，$\sqrt{3}$，1），
所以$\overrightarrow{AE}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AF}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），=（1，-，1），$\overrightarrow{CF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CE}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
設平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-x+\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，2，-$\sqrt{3}$），
設平面CEF的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=a-\sqrt{3}b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=-a+c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，2，$\sqrt{3}$），
記二面角A-EF-C的平面角為α，由圖可知，α為銳角，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$．
∴二面角A-EF-C的平面角的余弦值為$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查線線垂直的證明、二面角余弦值的求解，考查考生的空間想象能力和運算求解能力．立體幾何解答題主要圍繞線面位置關系的證明以及空間角的計算展開，在線面位置關系中，垂直關系是核心，也是新課標高考命題的熱點，空間角主要考查二面角，可利用傳統(tǒng)法和向量法求解．