如圖,已知直線l1:y=2x+m(m<0)與拋物線C1:y=ax2(a>0)和圓C2:x2+(y+1)2=5都相切,F(xiàn)是C1的焦點(diǎn).
(1)求m與a的值;
(2)設(shè)A是C1上的一動(dòng)點(diǎn),以A為切點(diǎn)作拋物線C1的切線l,直線l交y軸于點(diǎn)B,以FA,F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB,證明:點(diǎn)M在一條定直線上;
(3)在(2)的條件下,記點(diǎn)M所在的定直線為l2,直線l2與y軸交點(diǎn)為N,連接MF交拋物線C1于P,Q兩點(diǎn),求△NPQ的面積S的取值范圍.

【答案】分析:(1)利用圓心到直線的距離等于半徑求出m,再利用導(dǎo)函數(shù)與切線的關(guān)系求出a的值即可.
(2)先求出以A為切點(diǎn)的切線l的方程以及點(diǎn)A,B的表達(dá)式,再利用以FA,F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB,結(jié)合向量運(yùn)算即可求出點(diǎn)M所在的定直線.
(3)設(shè)直線MF:y=kx+,代入y=得:,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及三角形面積公式得出面積的表達(dá)式,最后利用函數(shù)思想即可求得△NPQ的面積S的取值范圍.
解答:解:(1)由已知,圓C2:x2+(y+1)2=5的圓心為C2(0,-1),半徑 .(1分)
由題設(shè)圓心到直線l1:y=2x+m的距離 .(3分)
,
解得m=-6(m=4舍去).(4分)
設(shè)l1與拋物線的相切點(diǎn)為A(x,y),又y′=2ax,(5分)
,.(6分)
代入直線方程得:,∴
所以m=-6,.(7分)
(2)由(1)知拋物線C1方程為 ,焦點(diǎn) .(8分)
設(shè) ,由(1)知以A為切點(diǎn)的切線l的方程為 .(10分)
令x=0,得切線l交y軸的B點(diǎn)坐標(biāo)為 (11分)
所以 ,,(12分)
(13分)
因?yàn)镕是定點(diǎn),所以點(diǎn)M在定直線 上.(14分)
(3)設(shè)直線MF:y=kx+,代入y=得:
,得x1+x2=6k,x1x2=-9.
S△NPQ=|NF||x1-x2|=×3×=9
∵k≠0,∴S△NPQ>9,
△NPQ的面積S的取值范圍(9,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題是對(duì)圓與橢圓知識(shí)的綜合考查.當(dāng)直線與圓相切時(shí),可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解.,也可以把直線與圓的方程聯(lián)立讓對(duì)應(yīng)方程的判別式為0求解.本題用的是第一種
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直線l1:4x+y=0,直線l2:x+y-1=0以及l(fā)2上一點(diǎn)P(3,-2).
(Ⅰ)求圓心M在l1上且與直線l2相切于點(diǎn)P的圓⊙的方程.
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下;若直線l1分別與直線l2、圓⊙依次相交于A、B、C三點(diǎn),利用代數(shù)法驗(yàn)證:|AP|2=|AB|•|AC|.

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(3)在(2)的條件下,記點(diǎn)M所在的定直線為l2,直線l2與y軸交點(diǎn)為N,連接MF交拋物線C1于P,Q兩點(diǎn),求△NPQ的面積S的取值范圍.

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6
6

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AC
AB
=0,AC
與直線l2交于點(diǎn)C,則△ABC面積的最小值為( �。�

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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