Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁₀=28，S₈=92；數(shù)列{b_n}對(duì)任意n∈N^*，總有b₁•b₂•b₃…b_n-1•b_n=3n+1成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記c_n=

an•bn

2n

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出{a_n}的首項(xiàng)和公差，由已知列方程組求得首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求通項(xiàng)；再由b₁•b₂•b₃…b_n-1•b_n=3n+1，得b₁•b₂•b₃…b_n-1=3n-2（n≥2），兩式相除可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=

an•bn

2n

，化簡(jiǎn)后利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由a₁₀=28，S₈=92，
得a₁₀=a₁+9d=28，S8=8a1+

8×7

2

×d=92，
解得a₁=1，d=3，a_n=1+3（n-1）=3n-2；
又∵b₁•b₂•b₃…b_n-1•b_n=3n+1，
∴b₁•b₂•b₃…b_n-1=3n-2（n≥2），
兩式相除得bn=

3n+1

3n-2

(n≥2)，
當(dāng)n=1時(shí)b₁=4適合上式，
∴bn=

3n+1

3n-2

(n∈N*)；
（Ⅱ）把{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=

an•bn

2n

，得cn=

an•bn

2n

=

3n+1

2n

，
則Tn=

4

2

+

7

22

+

10

23

+…+

3n+1

2n

，

1

2

Tn=

4

22

+

7

23

+…+

3n-2

2n

+

3n+1

2n+1

，
兩式作差得：

1

2

Tn=2+(

3

22

+

3

23

+…+

3

2n

)-

3n+1

2n+1

，
∴

1

2

Tn=2+3×

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

3n+1

2n+1

，
即Tn=7-

3n+7

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．