已知等比數(shù)列{an},Sn是其前n項的和,且a1+a3=5,S4=15.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(II)設bn=
5
2
+log2an
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn
(III)比較(II)中Tn
1
2
n3+2
(n=1,2,3…)的大小,并說明理由.
(I)設數(shù)列{an}的公比為q,則
方法一:a1+a3=a1+a1q2=a1(1+q2)=5,S4-(a1+a3)=a2+a4=a1q(1+q2)=10(2分)
∴q=2,a1=1,則an=2n-1(4分)
方法二:易知q≠1,則a1+a3=a1+a1q2=a1(1+q2)=5S4=
a1(1-q4)
1-q
=
a1(1-q)(1+q)(1+q2)
1-q
=a1(1+q)(1+q2)=15
,
則1+q=3(2分)
(以下同方法一)(4分)
(II)由(I)可得,bn=
5
2
+log22n-1=
5
2
+(n-1)=n+
3
2
,
所以數(shù)列{bn}是一個以
5
2
為首項,1為公差的等差數(shù)列(5分)
Tn=
n(b1+bn)
2
(6分)

=
n(
5
2
+n+
3
2
)
2
=
n(n+4)
2
(9分)

(III)∵(
1
2
n3+2)-Tn=
1
2
(n3-n2-4n+4)=
1
2
(n-1)(n-2)(n+2)
(11分)
∴當n=1、2時,
1
2
(n-1)(n-2)(n+2)=0
,即Tn=
1
2
n3+2
(12分)
當n≥3時,
1
2
(n-1)(n-2)(n+2)>0
,即Tn
1
2
n3+2
(14分)
練習冊系列答案
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1bnbn+1
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3
3

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(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn=log2an,求數(shù)列{|bn|}的前n項和Tn

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12
,則n=
9
9

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