Question

【題目】已知函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù).

(1)求的值；

(2)求證: 對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）通過函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，可得恒成立，可得

恒成立，從而可求的值；(2) 由, 得, 所以 ，令，利用單調(diào)性的定義可證明在上單調(diào)遞減，從而可得結(jié)論.

(1)因?yàn)?/span>f(x)是關(guān)于x的偶函數(shù),

所以log2(2 - x + 1) + k( - x) = log2(2x + 1) + kx, 即2kx = log2= - x, 解得k = -.

(2) 由, 得log2(2x + 1) -x =x + m,

所以 m = log2(2x + 1) -x = log2(1 +). 令h(x) = log2(1 +),

設(shè)x1, x2 R, 且x1 < x2, 則>, 所以log2(1 +) > log2(1 +),

所以h(x1) – h(x2) = log2(1 +) - log2(1 +) > 0, 即 h(x1) > h(x2), ∴ h(x)在R上單調(diào)遞減.

因此, 函數(shù)y = h(x)的圖象與直線y = m的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn). 所以, 對(duì)任意實(shí)數(shù)m, 函數(shù)y = f(x)的圖象與直線y =x + m的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn).