(1)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=
1
4
(an+1)2
①求{an}的通項(xiàng)公式;
②設(shè)m,k,p∈N*,m+p=2k,求證:
1
Sm
+
1
Sp
2
Sk

(2)若{an}是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Tn,求證:對(duì)任意n∈N*,Tn,Tn+1,Tn+2不能構(gòu)成等比數(shù)列.
分析:(1)①利用n=1時(shí),a1=S1即可得出,當(dāng)n≥1時(shí),an+1=Sn+1-Sn即可得出an;
②由①可得an=2n-1為等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到Sn,再利用基本不等式即可證明
1
Sm
+
1
Sp
-
2
Sk
>0.
(2)由{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d.假設(shè)存在m∈N*Tm ,Tm+1,Tm+2構(gòu)成等比數(shù)列.得
T
2
m+1
=TmTm+1
(Tm+am+1)2=Tm(Tm+am+1+am+2),
化為dTm=
a
2
m+1
,即
a
2
1
+
mda1+
1
2
m(m+1)d2=0
(*)對(duì)分類討論即可得出.
解答:(1)解:①由Sn=
1
4
(an+1)2,可得Sn+1=
1
4
(an+1+1)2
,
兩式相減得an+1=
1
4
(an+1-an)(an+1+an+2)
,
化為(an+1+an)(an+1-an-2)=0.
∵an>0,∴an+1-an-2=0,即an+1-an=2.
∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列.
a1=S1=
1
4
(a1+1)2
,化為(a1-1)2=0,解得a1=1.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
②由①知Sn=
n(1+2n-1)
2
=n2
,
1
Sm
+
1
Sp
-
2
Sk
=
1
m2
+
1
p2
-
2
k2
=
k2(m2+p2)-2m2p2
m2p2k2
,
又∵m,k,p∈N*,m+p=2k,∴k=
m+p
2

1
Sm
+
1
Sp
-
2
Sk
=
(
m+p
2
)2(m2+p2)-2m2p2
m2p2k2
(
mp
)2(2mp)-2m2p2
m2p2k2
=0,
1
Sm
+
1
Sp
2
Sk
成立.
(2)由{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,
假設(shè)存在m∈N*,Tm ,Tm+1,Tm+2構(gòu)成等比數(shù)列.即
T
2
m+1
=TmTm+2

(Tm+am+1)2=Tm(Tm+am+1+am+2)
化為dTm=
a
2
m+1
,即
a
2
1
+
mda1+
1
2
m(m+1)d2=0
(*)
若d=0,則a1=0,∴Tm=Tm+1=Tm+2=0,這與Tm ,Tm+1,Tm+2構(gòu)成等比數(shù)列矛盾.
若d≠0,要使(*)式中的首項(xiàng)a1存在,必須△≥0,
然而△=m2d2-2m(m+1)d2=-(m2+2m)d2<0,矛盾.
綜上所述,對(duì)任意n∈N*,Tn,Tn+1,Tn+2不能構(gòu)成等比數(shù)列.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及其關(guān)系:(n=1時(shí),a1=S1即可得出,當(dāng)n≥1時(shí),an+1=Sn+1-Sn即可得出an)、基本不等式的性質(zhì)、分類討論的思想方法、反證法等是解題的關(guān)鍵.
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(1)已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng) a1=1,且an+1=
an
1+an
( n=1,2,3…)使用歸納法歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.(不需證明)
(2)用分析法證明:若a>0,則
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n•2n,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}中,a1=1,且滿足an+1=3an+1,n∈N*,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
(2)已知數(shù)列{an}中,a1=2,an=
an-12an-1+1
(n≥2)
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n,求證數(shù)列{an}成等差數(shù)列.
(2)已知
1
a
1
b
,
1
c
成等差數(shù)列,求證
b+c
a
,
c+a
b
,
a+b
c
也成等差數(shù)列.

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