Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα+\sqrt{3}\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{6}$．若直線l與曲線C交于A，B，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα+\sqrt{3}\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得曲線C的普通方程．由直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{6}$，可得直線l的直角坐標(biāo)方程．
∴圓心到直線的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 解：由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα+\sqrt{3}\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
利用cos²α+sin²α=1可得曲線C的普通方程為${（{x-\sqrt{3}}）^2}+{y^2}=4$，表示以$（{\sqrt{3}，0}）$為圓心，2為半徑的圓．
由直線l的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{6}$，可得直線l的直角坐標(biāo)方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，
∴圓心到直線的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴線段AB的長(zhǎng)為$2\sqrt{4-{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}}=\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程、圓的參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．