Question

12．如圖，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{DF}$|；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的值．

Answer 1

分析 （I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
（II）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（$\sqrt{2}$，0），設(shè)F（x，2），E（$\sqrt{2}$，1），D（0，2）．
則$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{BF}$=（x-$\sqrt{2}$，2），
∵$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$=$\sqrt{2}$，∴$\sqrt{2}（x-\sqrt{2}）$+2=$\sqrt{2}$，
解得x=1．
∴$\overrightarrow{DF}$=（1，0），
∴$|\overrightarrow{DF}|$=1．
（Ⅱ）$\overrightarrow{AF}$=（1，2），
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=$\sqrt{2}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．