Question

若公比為c的等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1且滿足an=

an-1+an-2

2

（n?3，4，…）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）由題設(shè)，當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=c²a_n-2，a_n-1=ca_n-2，an=

an-1+an-2

2

=

1+c

2

an-2，
由題設(shè)條件可得a_n-2≠0，因此c2=

1+c

2

，即2c²-c-1=0解得c=1或c=-

1

2

（Ⅱ）由（Ⅰ），需要分兩種情況討論，
當(dāng)c=1時(shí)，數(shù)列{a_n}是一個(gè)常數(shù)列，即a_n=1（n∈N^*）
這時(shí)，數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和Sn=1+2+3++n=

n(n+1)

2

當(dāng)c=-

1

2

時(shí)，數(shù)列{a_n}是一個(gè)公比為-

1

2

的等比數(shù)列，即an=(-

1

2

)n-1（n∈N^*）
這時(shí)，數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和Sn=1+2(-

1

2

)+3(-

1

2

)2++n(-

1

2

)n-1①
1式兩邊同乘-

1

2

2，得-

1

2

Sn=-

1

2

+2(-

1

2

)2++(n-1)(-

1

2

)n-1+n(-

1

2

)n②
①式減去②式，得(1+

1

2

)Sn=1+(-

1

2

)+(-

1

2

)2++(-

1

2

)n-1-n(-

1

2

)n=

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

-n(-

1

2

)n
所以Sn=

1

9

[4-(-1)n

3n+2

2n-1

]（n∈N^*）