Question

18．已知$\int_0^1{（{x^2}+m）dx$=1，則函數(shù)f（x）=log_m（3+2x-x²）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1）．

Answer 1

分析 求出m的值，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則求出函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間即可．

解答 解：∵$\int_0^1{（{x^2}+m）dx$=1，
∴（$\frac{1}{3}$x³+mx）${|}_{0}^{1}$=1，解得：m=$\frac{2}{3}$，
故f（x）=log_m（3+2x-x²）=${log}_{\frac{2}{3}}$（3+2x-x²），
令g（x）=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1），
令g（x）＞0，解得：-1＜x＜3，
而g（x）在對(duì)稱軸x=1，
故g（x）在（-1，1）遞增，
故f（x）在（-1，1）遞減，
故答案為：（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的運(yùn)算，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性異減二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．