Question

7．設A（1，0），B（2，1），C是拋物線y²=4x上的動點．
（1）求△ABC周長的最小值；
（2）若C位于直線AB左上方，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）C到準線的距離為|CH|，則|CA|=|CH|，B，C，H共線時，△ABC周長最小，即可求△ABC周長的最小值；
（2）設與AB平行的直線l：y=x+b，由題意，當l與拋物線相切時，切點C滿足△ABC面積最大，此時平行線間距離h就是AB邊上的高，求出h，即可求△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）C到準線的距離為|CH|，則|CA|=|CH|，
∵|AB|=$\sqrt{2}$為常數，
∴B，C，H共線時，△ABC周長最小，
∵（|BC|+|CH|）_min=3，∴△ABC周長的最小值為3+$\sqrt{2}$；
（2）設與AB平行的直線l：y=x+b，
由題意，當l與拋物線相切時，切點C滿足△ABC面積最大，此時平行線間距離h就是AB邊上的高，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得y²-4y+4b=0，令△=0得b=1，
∴l(xiāng)：x-y+1=0，
∴h=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴△ABC面積的最大值S=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=1．

點評 本題考查拋物線的方程與性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．