Question

設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），c＞0，若以F₁F₂為斜邊的等腰直角三角形F₁AF₂的直角邊的中點在雙曲線上，則

c

a

等于

 

．

Answer 1

分析：記雙曲線的焦距為2C、依題意知點M在y軸上，M在y軸正半軸上，則可表示出F₁和M的坐標，進而可表示出線段MF₁的中點坐標代入雙曲線方程，化簡整理即可求得e．

解答：解：記雙曲線的焦距為2C、依題意知點M在y軸上，
∴線段MF₁的中點坐標是（-

c

2

，

c

2

）．
又∵線段MF₁的中點在雙曲線上，
∴

(- c 2 )2

a2

-

( c 2 )2

b2

=1，即

c2

a2

-

c2

b2

=4，

c2

a2

-

c2

c2-a2

=4，（e²）²-6e²+4=0，e²=3±

5

．又e²＞1，
∴e²=3+

5

∵（

10 + 2

2

）²=3+

5

，
∴e=

10 + 2

2

．
故答案為

10 + 2

2

．

點評：本題主要考查了直線與雙曲線的關(guān)系以及求離心率的問題．考查了學生的綜合分析問題和基本的運算能力．