Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）滿足下列條件：
①當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱；
②當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若f（x）在區(qū)間[m-1，m]上恒有|f（x）-x|≤1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由“當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立”得到當(dāng)x=1時(shí)，也成立，所以有1≤f（1）≤1，
從而得到f（1）；
（2）由“當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱”，可知對(duì)稱軸及在對(duì)稱軸處取得最值，創(chuàng)造兩個(gè)條件，再由f（1）=1，可求得二次函數(shù)的解析式．
（3）根據(jù)第二問可設(shè)：g（x）=f（x）-x=

1

4

(x-1)2，由“|f（x）-x|≤1”可得x∈[-1，3]，從而求得結(jié)論．

解答：解：（1）∵當(dāng)x∈（0，5）時(shí)，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立
∴1≤f（1）≤1
∴f（1）=1；
（2）∵當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）的最小值為0，且圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱；
∴-

b

2a

=-1，f（-1）=a-b+c=0
又∵f（1）=a+b+c=1
∴a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

∴f(x)=

1

4

(x+1)2；
（3）設(shè)g（x）=f（x）-x=

1

4

(x-1)2
關(guān)于x=1對(duì)稱 
當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，|f（x）-x|≤1
∴0≤m≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)求解析式，里面有三個(gè)未知數(shù)所以要尋求三個(gè)條件來解，同時(shí)還考查了用二次函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)來研究恒成立問題，二次函數(shù)滲透性強(qiáng)，應(yīng)用范圍廣，圖象和性質(zhì)要靈活掌握．