Question

已知tanα=-

1

3

，cosβ=

5

5

，α，β∈（0，π）
（1）分別求sinβ，sinα，cosα的值；
（2）求函數(shù)f（x）=

2

sin（x-α）+cos（x+β）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由cosβ=

5

5

，β∈（0，π），可求sinβ的值；由tanα=-

1

3

，sin²α+cos²α=1，

π

2

＜α＜π，可求sinα，cosα的值；
（2）化簡(jiǎn)可得f（x）=-

5

sinx，從而可求函數(shù)f（x）的最大值是

5

．

解答： 解：（1）∵cosβ=

5

5

，β∈（0，π），
∴sinβ=

1-( 5 5 )2

=

2 5

5

，
∵tanα=

sinα

cosα

=-

1

3

，sin²α+cos²α=1，可解得cos²α=

9

10

，
∵α∈（0，π），tanα＜0，
∴

π

2

＜α＜π，∴cosα=-

9 10

=

-3 10

10

，sinα=-

1

3

×

-3 10

10

=

10

10

，
（2）∵f（x）=

2

sin（x-α）+cos（x+β）=

2

（

-3 10

10

sinx-

10

10

cosx）+

5

5

cosx-

2 5

5

sinx=-

5

sinx，
∴函數(shù)f（x）=

2

sin（x-α）+cos（x+β）的最大值是

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了兩角和與差的余弦函數(shù)公式應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，三角函數(shù)的最值的解法，屬于基本知識(shí)的考查．