【題目】橢圓:,其長軸是短軸的兩倍,以某短軸頂點和長軸頂點為端點的線段作為直徑的圓的周長為,直線與橢圓交于,兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點作直線的垂線,垂足為.若,求點的軌跡方程;
(3)設直線,,的斜率分別為,,,其中且.設的面積為.以、為直徑的圓的面積分別為,,求的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
(1)由題意知a=2b,且,由此能求出橢圓方程.
(2)先考慮直線斜率存在時,設直線的方程為,和橢圓的方程聯(lián)立,結合向量的垂直關系即可找到找m,k的關系式,從而求得.再驗證斜率不存在時也滿足,則可得點的軌跡方程.
(3)設直線l的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立,利用韋達定理、橢圓弦長公式結合已知條件能求出的取值范圍.
(1)由題可知,,且,解得:,,
故橢圓的方程為:.
(2)當直線斜率存在時,設直線的方程為,
由可得,由韋達定理有:
且
∵,∴,即
∴
由韋達定理代入化簡得:
∵垂直直線,∴
當直線斜率不存在時,設:,易求,此時
所以點的軌跡方程為.
(3)設直線的方程為,
由可得,由韋達定理有:
且
∵,∴,即
由韋達定理代入化簡得:.
∵,∴
此時,即.
故
又
為定值.
∴
∴當且僅當時等號成立.
綜上:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側棱AA1⊥底面A1B1C1,AA1=1,底面三角形A1B1C1是邊長為2的正三角形,E是BC中點,則下列說法正確的是( )
①CC1與AB1所成角的余弦值為
②AB⊥平面ACC1A1
③三角形AB1E為直角三角形
④A1C1∥平面AB1E
A.①②B.③④C.①③D.②④
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【題目】5名男生3名女生參加升旗儀式:
(1)站兩橫排,3名女生站前排,5名男生站后排有多少種站法?
(2)站兩縱列,每列4人,每列都有女生且女生站在男生前面,有多少種排列方法?
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【題目】哈師大附中高三學年統(tǒng)計甲、乙兩個班級一模數(shù)學分數(shù)(滿分150分),每個班級20名同學,現(xiàn)有甲、乙兩位同學的20次成績?nèi)缦铝星o葉圖所示:
(I)根據(jù)基葉圖求甲、乙兩位同學成績的中位數(shù),并將乙同學的成績的頻率分布直方圖填充完整;
(Ⅱ)根據(jù)基葉圖比較甲乙兩位同學數(shù)學成績的平均值及穩(wěn)定程度(不要求計算出具體值,給出結論即可)
(Ⅲ)現(xiàn)從甲乙兩位同學的不低于140分的成績中任意選出2個成績,設事件為“其中2 個成績分別屬于不同的同學”,求事件發(fā)生的概率.
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【題目】棱長為1的正方體中,點、分別在線段、上運動(不包括線段端點),且.以下結論:①;②若點、分別為線段、的中點,則由線與確定的平面在正方體上的截面為等邊三角形;③四面體的體積的最大值為;④直線與直線的夾角為定值.其中正確的結論為______.(填序號)
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【題目】某代賣店代售的某種快餐,深受廣大消費者喜愛,該種快餐每份進價為8元,并以每份12元的價格銷售.如果當天19:00之前賣不完,剩余的該種快餐每份以5元的價格作特價處理,且全部售完.
(1)若這個代賣店每天定制15份該種快餐,求該種類型快餐當天的利潤y(單位:元)關于當天需求量x(單位:份,)的函數(shù)解析式;
(2)該代賣點記錄了一個月30天的每天19:00之前的銷售數(shù)量該種快餐日需求量,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
日需求量 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
天數(shù) | 4 | 5 | 6 | 8 | 4 | 3 |
以30天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率,假設這個代賣店在這一個月內(nèi)每天都定制15份該種快餐.
(i)求該種快餐當天的利潤不少于52元的概率.
(ii)求這一個月該種快餐的日利潤的平均數(shù)(精確到0.1).
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【題目】甲乙兩個班級均為40人,進行一門考試后,按學生考試成績及格與不及格進行統(tǒng)計,甲班及格人數(shù)為36人,乙班及格人數(shù)為24人.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2的列聯(lián)表;
(2)試判斷能否有99.5%的把握認為“考試成績與班級有關”?參考公式: ;n=a+b+c+d
P(>k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某省2016年高中數(shù)學學業(yè)水平測試的原始成績采用百分制,發(fā)布成績使用等級制.各等制劃分標準為:85分及以上,記為等;分數(shù)在內(nèi),記為等;分數(shù)在內(nèi),記為等;60分以下,記為等.同時認定為合格, 為不合格.已知甲,乙兩所學校學生的原始成績均分布在內(nèi),為了比較兩校學生的成績,分別抽取50名學生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計,按照的分組作出甲校的樣本頻率分布直方圖如圖1所示,乙校的樣本中等級為的所有數(shù)據(jù)莖葉圖如圖2所示.
(Ⅰ)求圖1中的值,并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率;
(Ⅱ)在選取的樣本中,從甲,乙兩校等級的學生中隨機抽取3名學生進行調(diào)研,用表示所抽取的3名學生中甲校的學生人數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
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