Question

【題目】已知數(shù)列中.

（1）是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿足的所有正整數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）1和2．

【解析】

試題分析：（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，一般利用定義：即判斷

是否為常數(shù)，這時(shí)有兩個(gè)思路，一是從特殊出發(fā)，先探索常數(shù)，再證明其對(duì)于任意皆成立；二是從一般出發(fā)，利用恒等式的條件求出常數(shù)，（2）（1）提供了求和的方法：先求出，再由，得，，因此，以下結(jié)合單調(diào)性解不等式即可.

試題解析：解：（1）設(shè)，

因?yàn)?/span>

． 2分

若數(shù)列是等比數(shù)列，則必須有（常數(shù)），

即，即， 5分

此時(shí)，

所以存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等比數(shù)列 6分

（注：利用前幾項(xiàng)，求出的值，并證明不扣分）

（2）由（1）得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

故，即， 8分

由，得， 10分

所以，

， 12分

顯然當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；

，

同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．

綜上，滿足的所有正整數(shù)為1和2． 16分