Question

13．甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況，每一局甲勝的概率為$\frac{2}{3}$，乙勝的概率為$\frac{1}{3}$，如果比賽采用“五局三勝制”（先勝三局者獲勝，比賽結(jié)束）．
（1）求甲獲得比賽勝利的概率；
（2）設(shè)比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）甲獲得比賽勝利包含三種情況：①甲連勝三局；②前三局甲兩勝一負(fù)，第四局甲勝；③前四局甲兩勝兩負(fù)，第五局甲勝．由此能求出甲獲得比賽勝利的概率．
（2）由已知得X的可能取值為3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）甲獲得比賽勝利包含三種情況：
①甲連勝三局；②前三局甲兩勝一負(fù)，第四局甲勝；③前四局甲兩勝兩負(fù)，第五局甲勝．
∴甲獲得比賽勝利的概率：
p=$（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）×（\frac{2}{3}）$+C${\;}_{4}^{2}$（$\frac{2}{3}$）²（$\frac{1}{3}$）²×$（\frac{2}{3}）$=$\frac{64}{81}$．
（2）由已知得X的可能取值為3，4，5，
P（X=3）=$（\frac{2}{3}）^{3}+（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）×（\frac{2}{3}）$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）$×$（\frac{1}{3}）$=$\frac{10}{27}$，
P（X=5）=C${\;}_{4}^{2}$（$\frac{2}{3}$）²（$\frac{1}{3}$）²×$（\frac{2}{3}）$+C${\;}_{4}^{2}$（$\frac{1}{3}$）²（$\frac{2}{3}$）²×$（\frac{1}{3}）$=$\frac{8}{27}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

數(shù)學(xué)期望EX=$3×\frac{1}{3}+4×\frac{10}{27}+5×\frac{8}{27}$=$\frac{107}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．