設(shè)(是自然對數(shù)的底數(shù),),且
(1)求實數(shù)的值,并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),對任意,恒有成立.求實數(shù)的取值范圍;
(3)若正實數(shù)滿足,,試證明:;并進一步判斷:當正實數(shù)滿足,且是互不相等的實數(shù)時,不等式是否仍然成立.
(1)參考解析;(2);(3)成立,參考解析

試題分析:(1)由(是自然對數(shù)的底數(shù),),且,即可求出.再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的值即可求出單調(diào)區(qū)間.
(2)對任意,恒有成立,通過去分母,整理成兩個函數(shù)的單調(diào)性的問題即,則上單調(diào)遞增,又,再通過求導(dǎo)即可得到m的取值范圍.
(3)若正實數(shù)滿足,則.通過代入函數(shù)關(guān)系式消元再用基本不等式即可得到結(jié)論.當,且是互不相等的實數(shù)時,不等式是否仍然成立.有數(shù)學歸納法證明,當n=k+1時利用轉(zhuǎn)化為k項的形式.再通過構(gòu)造即可得到結(jié)論.
(1)∵,,故.           1分
;令.      3分
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為.      4分
(2)由變形得:.     5分
令函數(shù),則上單調(diào)遞增.           6分
上恒成立.           7分
(當且僅當時取“=”)
所以.                             9分
(3)證明:不妨設(shè),由得:






其中,故上式的符號由因式“”的符號確定.
,則函數(shù)
,其中,得,故.即上單調(diào)遞減,且.所以
從而有成立.
該不等式能更進一步推廣:
已知,是互不相等的實數(shù),若正實數(shù)滿足,則
下面用數(shù)學歸納法加以證明:
i)當時,由(2)證明可知上述不等式成立;
ii)假設(shè)當時,上述不等式成立.即有:
則當時,由得:,于是有:

在該不等式的兩邊同時乘以正數(shù)可得:
在此不等式的兩邊同時加上又可得:
該不等式的左邊再利用i)的結(jié)論可得:.整理即得:
所以,當時,上述不等式仍然成立.
綜上,對上述不等式都成立.                  14分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)(a≠0)滿足,為偶函數(shù),且x=-2是函數(shù)的一個零點.又>0).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若關(guān)于x 的方程上有解,求實數(shù)的取值范圍;
(3)令,求的單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的原材料費為每件40元,若用x表示該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù),則電力與機器保養(yǎng)等費用為每件0.05x元,又該廠職工工資固定支出12500元.
(1)把每件產(chǎn)品的成本費P(x)(元)表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù),并求每件產(chǎn)品的最低成本費;
(2)如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過3000件,且產(chǎn)品能全部銷售,根據(jù)市場調(diào)查:每件產(chǎn)品的銷售價Q(x)與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系:Q(x)=170-0.05x,試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時,總利潤最高?(總利潤=總銷售額-總成本)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

對任意實數(shù)a,b,函數(shù)F(a,b)=(a+b-|a-b|),如果函數(shù)f(x)=-x2+2x+3,g(x)=x+1,那么函數(shù)G(x)=F(f(x),g(x))的最大值等于________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,則f(-3)=________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

若函數(shù)f(x)=,則
(1)=________.
(2)f(3)+f(4)+…+f(2 012)++…+=________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

(5分)(2011•廣東)設(shè)f(x),g(x),h(x)是R上的任意實值函數(shù),如下定義兩個函數(shù)(f°g)(x)和((f•g)(x)對任意x∈R,(f°g)(x)=f(g(x));(f•g)(x)=f(x)g(x),則下列等式恒成立的是(       )
A.((f°g)•h)(x)=((f•h)°(g•h))(x)
B.((f•g)°h)(x)=((f°h)•(g°h))(x)
C.((f°g)°h)(x)=((f°h)°(g°h))(x)
D.((f•g)•h)(x)=((f•h)•(g•h))(x)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

函數(shù)的圖象可能是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象大致為(  )

查看答案和解析>>

同步練習冊答案