Question

7．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=BC=2，$∠ABC=\frac{π}{2}$，E，F(xiàn)分別為棱AB，AC的中點(diǎn)，則直線A₁E和C₁F的夾角余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{30}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{30}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{6}$
• D． $\frac{{2\sqrt{30}}}{15}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
A₁（2，0，0），E（1，0，2），C₁（0，2，0），F(xiàn)（1，1，2），
則$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（1，-1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=-1+0+4=3，
$cos＜\overrightarrow{{A}_{1}E}，\overrightarrow{{C}_{1}F}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{{C}_{1}F}}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}||\overrightarrow{{C}_{1}F}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴直線A₁E和C₁F的夾角余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式、異面直線所成的角，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．