【題目】設(shè)函數(shù)fx=x﹣a2lnx,aR.

I若x=e是y=fx的極值點,求實數(shù)a的值;

若函數(shù)y=fx﹣4e2只有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍

【答案】1a=e或a=3e;2-∞,3e

【解析】

試題解析:函數(shù)fx=x﹣a2 lnx,aR.

f′x=2x﹣alnx+=x﹣a)(2lnx+1﹣

由x=e是fx的極值點,所以f′e=0

解得a=e或a=3e.

經(jīng)檢驗,a=e或a=3e符合題意,所以a=e或a=3e;

由已知得方程fx=4e2只有一個根,

即曲線fx與直線y=4e2只有一個公共點.

易知fx﹣∞,+∞,設(shè),

當(dāng)a≤0時,易知函數(shù)fx0,+∞上是單調(diào)遞增的,滿足題意;

當(dāng)0<a≤1時,易知hx是單調(diào)遞增的,又ha=2lna<0,h1=1﹣a≥0,

x0a,1,hx0=0,

當(dāng)0<x<a時,f′x=x﹣a)(2lnx+1﹣>o

fx0,a上是單調(diào)遞增,

同理fxa,x0上單調(diào)遞減,在x0,+∞上單調(diào)遞增,

又極大值fa=0,所以曲線fx滿足題意;

當(dāng)a>1時,h1=1﹣a<0,ha=2lna>0,

x01,a,hx0=0,即,得a﹣x0=2x0lnx0,

可得fx0,x0上單調(diào)增,在x0,a上單調(diào)遞減,在a,+∞上單調(diào)遞增

又fa=0,若要函數(shù)fx滿足題意,只需fx0<4e2,即x0-a2lnx0<4e2

∴x02ln3x0<e2, 由x0>1,知gx=x2ln3x>0,且在[1, +∞上單調(diào)遞增,

由ge=e2,得1<x0<e,因為a=x0+2x0lnx0在[1,+∞上單調(diào)遞增,

所以1<a<3e;

綜上知,a∈-∞,3e

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(3)對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥,當(dāng)它的殘留量低于微克時對人體無害, 為了放心食用該蔬菜,

估計需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精確到,參考數(shù)據(jù))

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, )

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所取球的情況

三個球均為紅色

三個球均為不同色

恰有兩球為紅色

其他情況

所獲得的積分

180

90

60

0

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