Question

一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y²=2x的焦點(diǎn)F，且交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：∠ACB不可能是鈍角；
（Ⅱ）是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得y²-2ty-1=0，利用韋達(dá)定理就，及用坐標(biāo)表示向量，計(jì)算向量的數(shù)量積，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形，由（Ⅰ）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M（）．先確定AB的斜率必存在，再利用CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，確定C（），利用，從而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（），直線(xiàn)AB的方程為．
由得y²-2ty-1=0，則y₁+y₂=2t，y₁y₂=-1．
于是．…3
∵，
于是，
所以∠ACB不可能是鈍角．…2
（Ⅱ）解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形，由（Ⅰ）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M（）．
①若直線(xiàn)AB的斜率不存在，這時(shí)t=0，A（），B（），點(diǎn)C的坐標(biāo)只可能是（）．
由得，這是不可能的，于是AB的斜率必存在．…3
②由CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，即，得m=t³+2t，從而C（）．
，
．
由得，解之得．
此時(shí)點(diǎn)C（）．故存在點(diǎn)C（），使得△ABC是正三角形．…6
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的應(yīng)用，考查向量知識(shí)，考查存在性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的聯(lián)立，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理求解．