Question

學(xué)校文娛隊(duì)中的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有5人，會(huì)跳舞的有7人，現(xiàn)從中隨機(jī)選出3人．記X為選出的3人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且P（X≥1）=．
（Ⅰ）求學(xué)校文娛隊(duì)中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)；
（Ⅱ）求選出的3人中1人會(huì)唱歌2人會(huì)跳舞的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)學(xué)校文娛隊(duì)中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)為n，則文娛隊(duì)共有12-n個(gè)人，其中只會(huì)唱歌或只會(huì)跳舞一項(xiàng)的人數(shù)為12-2n人． 由 ，可得 ，即 ，再由12-2n≥3，且n是整數(shù)，求得n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知學(xué)校文娛隊(duì)的人數(shù)為10人，其中只會(huì)唱歌的有3人，只會(huì)跳舞的有5人，既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有2人，設(shè)“選出的3人中1人會(huì)唱歌2人會(huì)跳舞”為事件A，
根據(jù)，運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)學(xué)校文娛隊(duì)中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)為n，則文娛隊(duì)共有12-n個(gè)人，其中只會(huì)唱歌或只會(huì)跳舞一項(xiàng)的人數(shù)為12-2n人．  …（2分）
由 ，得 ，所以 ．    …（4分）
所以 ，…（6分）
即 ．
注意到12-2n≥3，且n是整數(shù)，從而n=0，1，2，3，4．
將n的這5個(gè)值代入上式檢驗(yàn)，得n=2符合題意，所以學(xué)校文娛隊(duì)中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有2人．   …（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知學(xué)校文娛隊(duì)的人數(shù)為10人，其中只會(huì)唱歌的有3人，只會(huì)跳舞的有5人，既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有2人．     …（9分）
設(shè)“選出的3人中1人會(huì)唱歌2人會(huì)跳舞”為事件A，…（10分）
所以，． …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等可能事件的概率，所求的事件的概率與它的對(duì)立事件的概率之間的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．