Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且a₃=7，S₁₁=143，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求得該數(shù)列的首項(xiàng)和公差即可；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和法求T_n．

解答 解：（Ⅰ）由a₃=7，S₁₁=143，得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{11{a}_{1}+\frac{11×（11-1）}{2}d=143}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=2n+1；
（Ⅱ）因?yàn)閍_n=2n+1，
所以b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=2×4ⁿ+2n，
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（4+4²+4³+…+4ⁿ）+2（1+2+3+…+n）
=$\frac{8}{3}$×4ⁿ+n²+n-$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，利用分組求和法是解決本題的關(guān)鍵．