Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2） 若對(duì)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），證明方程f（x）=[ f（x₁）+f（x₂）]必有一個(gè)實(shí)數(shù)根屬于（x₁，x₂）。
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時(shí)滿足以下條件①當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值0；
②對(duì)x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）²。
若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1），
∴a-b+c=0，b=a+c，
，
當(dāng)a=c時(shí)，△=0，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a≠c時(shí)，△＞0，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)。
（2）令，
則，
，
∴，
∴g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根，
即方程必有一個(gè)實(shí)數(shù)根屬于（x₁，x₂）。
（3）假設(shè)a，b，c存在，由①得，
，
由②知對(duì)，
令x=1得，
由，
當(dāng)，
其頂點(diǎn)為（-1，0）滿足條件①，
又，滿足條件②，
∴存在a，b，c∈R，使f（x）同時(shí)滿足條件①、②。