已知橢圓長軸長|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，過橢圓焦點F1作一直線時，交橢圓于兩點M、N，設(shè)MN的傾斜角為α，當(dāng)α取什么值時，|MN|等于橢圓短軸長？

解：如圖所示,以橢圓的長軸A1A2所在直線為x軸,橢圓中心為原點建立直角坐標(biāo)系,依題意2a=6,a=3,2c=4,c=2.

∴b==1,∴橢圓方程為+y2=1,e==.

設(shè)M（x1,y1）,N（x2,y2）,由橢圓的焦半徑公式知:

｜MF1｜=a+ex1=3+x1,｜NF1｜=a+ex2=3+x2.?

∴｜MN｜=｜MF1｜+｜NF1｜=6+（x1+x2）.?

又直線MN的方程為y=（x+2）tan α（α≠）,將其代入橢圓方程,整理,得:

（1+9tan2α）x2+36xtan2α+72tan2α-9=0.?

∴x1+x2=.又｜MN｜=2,

∴6+（x1+x2）=2,?

∴6＋（）=2,?

解得tan2α=,?

∴tanα=±.?

∵0≤α＜π且α≠,?

∴α=或π,即當(dāng)α=或α=時,｜MN｜等于橢圓的短軸長.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的離心率e=
3
2
，長軸的左右端點分別為A1（-2，0），A2（2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點，直線A1P與A2Q交于點S，試問：當(dāng)m變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，橢圓C的上、下頂點分別為A1，A2，左、右頂點分別為B1，B2，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．原點到直線A2B2的距離為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點且斜率為
1
2
的直線l，與橢圓交于E，F(xiàn)點，試判斷∠EF2F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；
（3）P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2，分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•浦東新區(qū)三模）已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為F1、F2，拋物線M：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F1，橢圓C與拋物線M的一個交點為P．
（1）當(dāng)m=1時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過焦點F2，與拋物線M交于A、B兩點，若弦長|AB|等于△PF1F2的周長，求直線l的方程；
（3）由拋物線弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)和橢圓弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲線叫“拋橢圓”，是否存在以原點O為直角頂點，另兩個頂點A1、A2落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江門一模）已知橢圓C的中心在原點，長軸在x軸上，經(jīng)過點A（0，1），離心率e=
2
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線ln：y=
1
n+1
（n∈N*）與橢圓C在第一象限內(nèi)相交于點An（xn，yn），記an=
1
2
x
 
2
n
，試證明：對?n∈N*，a1•a2•…•an＞
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年天津市高三第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓:的一個焦點為且過點.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．

證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

 

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