Question

8．如圖，點P是邊長為1的正方形ABCD所在平面外一點，PA⊥CD，PA=1，PD=$\sqrt{2}$，E為PD上一點，PE=2ED．
（1）求證：PA⊥平面ABCD．
（2）在線段PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC，若存在，指出F點位置，并說明，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD為斜邊的直角三角形，從而有PA⊥AD，再結(jié)合PA⊥CD，AD、CD 相交于點D，可得PA⊥平面ABCD；
（2）以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．分別給出點A、B、C、P、E的坐標(biāo)，從而得出$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），利用向量數(shù)量積為零的方法，列方程組可算出平面AEC的一個法向量．假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F，使得BF∥平面AEC，則$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=0，解之得存在PC的中點F，使得BF∥平面AEC．

解答 （1）證明：∵PA=AD=1，PD=$\sqrt{2}$，
∴PA²+AD²=PD²，可得△PAD是以PD為斜邊的直角三角形
∴PA⊥AD
又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于點D，
∴PA⊥平面ABCD；
（2）解：以AB，AD，PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），根據(jù)數(shù)量積為零，可得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$
令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，-2 ）
假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F，且$\overrightarrow{CF}$=λ$\overrightarrow{CP}$，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC，則$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=0．
又∵$\overrightarrow{BF}$=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ），
∴$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=λ+1-λ-2λ=0，∴λ=$\frac{1}{2}$，
所以存在PC的中點F，使得BF∥平面AEC．

點評 本題給出一個特殊的棱錐，著重考查了直線與平面平行的判定與性質(zhì)和直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．