8.如圖,點P是邊長為1的正方形ABCD所在平面外一點,PA⊥CD,PA=1,PD=$\sqrt{2}$,E為PD上一點,PE=2ED.
(1)求證:PA⊥平面ABCD.
(2)在線段PC上是否存在一點F,使得BF∥平面AEC,若存在,指出F點位置,并說明,若不存在,說明理由.

分析 (1)根據(jù)勾股定理的逆定理,得到△PAD是以PD為斜邊的直角三角形,從而有PA⊥AD,再結(jié)合PA⊥CD,AD、CD 相交于點D,可得PA⊥平面ABCD;
(2)以AB,AD,PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.分別給出點A、B、C、P、E的坐標(biāo),從而得出$\overrightarrow{AC}$=(1,1,0),$\overrightarrow{AE}$=(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),利用向量數(shù)量積為零的方法,列方程組可算出平面AEC的一個法向量.假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F,使得BF∥平面AEC,則$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=0,解之得存在PC的中點F,使得BF∥平面AEC.

解答 (1)證明:∵PA=AD=1,PD=$\sqrt{2}$,
∴PA2+AD2=PD2,可得△PAD是以PD為斜邊的直角三角形
∴PA⊥AD
又∵PA⊥CD,AD、CD 相交于點D,
∴PA⊥平面ABCD;
(2)解:以AB,AD,PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),E(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),
$\overrightarrow{AC}$=(1,1,0),$\overrightarrow{AE}$=(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),根據(jù)數(shù)量積為零,可得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$
令y=1,得$\overrightarrow{n}$=(-1,1,-2 )
假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F,且$\overrightarrow{CF}$=λ$\overrightarrow{CP}$,(0≤λ≤1),使得:BF∥平面AEC,則$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=0.
又∵$\overrightarrow{BF}$=(0,1,0)+(-λ,-λ,λ)=(-λ,1-λ,λ),
∴$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=λ+1-λ-2λ=0,∴λ=$\frac{1}{2}$,
所以存在PC的中點F,使得BF∥平面AEC.

點評 本題給出一個特殊的棱錐,著重考查了直線與平面平行的判定與性質(zhì)和直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識點,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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