分析 (1)根據(jù)勾股定理的逆定理,得到△PAD是以PD為斜邊的直角三角形,從而有PA⊥AD,再結(jié)合PA⊥CD,AD、CD 相交于點D,可得PA⊥平面ABCD;
(2)以AB,AD,PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.分別給出點A、B、C、P、E的坐標(biāo),從而得出$\overrightarrow{AC}$=(1,1,0),$\overrightarrow{AE}$=(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),利用向量數(shù)量積為零的方法,列方程組可算出平面AEC的一個法向量.假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F,使得BF∥平面AEC,則$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=0,解之得存在PC的中點F,使得BF∥平面AEC.
解答 (1)證明:∵PA=AD=1,PD=$\sqrt{2}$,
∴PA2+AD2=PD2,可得△PAD是以PD為斜邊的直角三角形
∴PA⊥AD
又∵PA⊥CD,AD、CD 相交于點D,
∴PA⊥平面ABCD;
(2)解:以AB,AD,PA為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),E(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),
$\overrightarrow{AC}$=(1,1,0),$\overrightarrow{AE}$=(0,$\frac{2}{3}$,$\frac{1}{3}$),
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),根據(jù)數(shù)量積為零,可得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$
令y=1,得$\overrightarrow{n}$=(-1,1,-2 )
假設(shè)側(cè)棱PC上存在一點F,且$\overrightarrow{CF}$=λ$\overrightarrow{CP}$,(0≤λ≤1),使得:BF∥平面AEC,則$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=0.
又∵$\overrightarrow{BF}$=(0,1,0)+(-λ,-λ,λ)=(-λ,1-λ,λ),
∴$\overrightarrow{BF}$?$\overrightarrow{n}$=λ+1-λ-2λ=0,∴λ=$\frac{1}{2}$,
所以存在PC的中點F,使得BF∥平面AEC.
點評 本題給出一個特殊的棱錐,著重考查了直線與平面平行的判定與性質(zhì)和直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識點,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 命題“若x≠0,則x2-3x≠0”的否命題是“若x=0,則x2-3x=0” | |
B. | 命題“?x∈R,lg(x2-x+1)≥0”是假命題 | |
C. | 命題“?x∈R,3sinx=$\sqrt{3}$”是真命題 | |
D. | 命題“若x=1,則向量$\overrightarrow{a}$=(-2x,1)與$\overrightarrow$=(-2,x)共線”的逆命題是真命題 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
年產(chǎn)量/畝 | 年種植成本/畝 | 每噸售價 | |
蒜臺 | 4噸 | 1.2萬元 | 0.55萬元 |
花菜 | 6噸 | 0.9萬元 | 0.3萬元 |
A. | 50萬 | B. | 48萬 | C. | 47萬 | D. | 45萬 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{7}{8}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,0) | B. | [-3,+∞) | C. | [-3,0] | D. | (0,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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