Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，直線y= x（a≠0）為曲線y=f（x）的一條切線．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)g（x）=min{f（x），x﹣ }（x＞0），若函數(shù)h（x）=g（x）﹣bx2為增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），f′（x）= ，則 ，∴a=1；
（2）解：記F（x）=f（x）﹣（x﹣ ），x＞0．下面考察y=F（x）的符號．

求導(dǎo)F′（x）= ﹣1﹣ ，

x≥2，F(xiàn)′（x）＜0，0＜x＜2，x（2﹣x）≤1，∴F′（x）= ﹣1﹣ ≤﹣ ＜0，

∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

∵F（1）= ＞0，F(xiàn)（2）= ﹣ ＜0，

∴F（x）在[1，2]上有唯一零點(diǎn)x0，

∴g（x）= ，

∴h（x）=g（x）﹣bx2= ，

x＞x0，h′（x）= ﹣2bx≥0恒成立，∴2b≤ ，

設(shè)u（x）= ，u′（x）= ，函數(shù)在（x0，3）上單調(diào)遞減，（3，+∞）上單調(diào)遞增，

∴u（x）min=﹣ ，∴2b≤﹣ ，∴b≤﹣ ；

0＜x≤x0時，h′（x）=1+ ﹣2bx，b≤0，h′（x）＞0在（0，x0）上恒成立，

綜上所述，b≤﹣ 時，函數(shù)h（x）=g（x）﹣bx2為增函數(shù)．

【解析】（1）根據(jù)直線y= x（a≠0）為曲線y=f（x）的一條切線，求實數(shù)a的值；（2）記F（x）=f（x）﹣（x﹣ ），x＞0．考察y=F（x）的符號，得出g（x）= ，再分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．