Question

（1）請?zhí)畋?BR>

n	1	2	3	4	5	6	7	8
n2
2n

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)填空：若n∈N*，則當

n=1或n≥5

時，n²＜2ⁿ；
（3）證明在（2）中你所得的結論；
（4）若x∈R，猜想方程x²=2^x有幾個實數(shù)根？并簡單說明猜想的過程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)表達式直接計算即可；
（2）可根據(jù)（1）所填的表格，結合指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)觀察后即可得到結論；
（3）用數(shù)學歸納法①n≥n₀（n₀=5）時成立，②假設n=k（k≥5）時成立，去證n=k+1時成立；
（4）由（1）中的表格及指數(shù)函數(shù)y=2^x與冪函數(shù)y=x²的圖象觀察后即可得到結論．

解答：解：（1）填表                                                      …（2分）

n	1	2	3	4	5	6	7	8
n2	1	4	9	16	25	36	49	64
2n	2	4	8	16	32	64	128	256

（2）n=1或n≥5時                                                 …（4分）
（少“n=1”扣1分）
（3）當n=5時，n²＜2ⁿ成立                                         …（5分）
假設n=k（k≥5）時，k²＜2^k                                       …（6分）
則當n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2•k²                                  …（8分）
∵k＞4，∴k²＞4k=2k+2k＞2k+1                                   …（10分）
∴2^k+1＞2•k²=k²+k²＞k²+2k+1=（k+1）²，即（k+1）²＜2^k+1
當n=k+1時，n²＜2ⁿ也成立                                    …（11分）
綜上所述，當n≥5時，n²＜2ⁿ成立                                 …（12分）
（4）有3個實數(shù)根                                                 …（14分）
由表可知，有兩整數(shù)根，由圖象可知，還有一個負實根            …（16分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)，易錯點在于環(huán)節(jié)不全，考慮不周，（2）中少“n=1”，重點考查學生對數(shù)學歸納法的應用與數(shù)形結合思想的掌握，難點在于數(shù)學歸納法中放縮法的應用．