Question

已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有f（1+x）=f（1-x），且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=3^x+1．
（1）求證：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把x+2拆成1+（x+1），代入f（1+x）=f（1-x），再利用偶函數(shù)的性質(zhì)f（-x）=f（x）推導(dǎo)周期．
（2）利用第（1）問中函數(shù)的周期及奇偶性過度到已知區(qū)間上函數(shù)的表達(dá)式求解函數(shù)的解析式．

解答： 解：（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有
f（x+2）=f[1+（1+x）]=f[1-（1+x）]=f（-x），
由于f（x）為偶函數(shù)，f（-x）=f（x）
∴f（x+2）=f（x）
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，2-x∈[0，1]
則f（x）=f（-x）=f（2-x）=3^2-x+1=3^3-x，
當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，x-2∈[0，1]
則f（x）=f（x-2）=3^x-2+1=3^x-1，
綜上，f（x）=

33-x，x∈[1，2] 3x-1，x∈[2，3]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性、奇偶性，求函數(shù)的解析式，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)而思想，屬于中檔題．