Question

2．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的兩個焦點為${F_1}，{F_2}，|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{2}$，點A，B在橢圓上，F(xiàn)₁在線段AB上，且△ABF₂的周長等于$4\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過圓O：x²+y²=4上任意一點P作橢圓C的兩條切線PM和PN與圓O交于點M，N，求△PMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設P（x_P，y_P），則${{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}=4$．若兩條切線中有一條切線的斜率不存在，求出P的坐標，直接求得△PMN面積；若兩條切線的斜率均存在，則${x}_{P}≠±\sqrt{3}$．
設過點P的橢圓的切線方程為y-y_P=k（x-x_P），代入橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用判別式等于0得到關于k的方程，再由根與系數的關系可得PM⊥PN，求得|MN|，寫出三角形面積，利用基本不等式求得面積最大值．

解答 解：（1）由△ABF₂的周長等于$4\sqrt{3}$，可得4a=4$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$．
由$|{F}_{1}{F}_{2}|=2\sqrt{2}$，得c=$\sqrt{2}$，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）設P（x_P，y_P），則${{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}=4$．
①若兩條切線中有一條切線的斜率不存在，則${x}_{P}=±\sqrt{3}$，y_P=±1．
另一條切線的斜率為0，從而PM⊥PN，此時${S}_{△PMN}=\frac{1}{2}|PM|•|PN|=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
②若兩條切線的斜率均存在，則${x}_{P}≠±\sqrt{3}$．
設過點P的橢圓的切線方程為y-y_P=k（x-x_P），代入橢圓方程，消去y并整理得：
（1+3k²）x²+6k（y_P-kx_P）x$+3（{y}_{P}-k{x}_{P}）^{2}-3=0$．
依題意得△=0，即$（3-{{x}_{P}}^{2}）{k}^{2}+2{x}_{P}{y}_{P}k+1-{{y}_{p}}^{2}=0$．
設切線PM、PN的斜率分別為k₁，k₂，從而${k}_{1}{k}_{2}=\frac{1-{{y}_{P}}^{2}}{3-{{x}_{P}}^{2}}=\frac{{{x}_{P}}^{2}-3}{3-{{x}_{P}}^{2}}=-1$．
∴PM⊥PN，則線段MN為圓O的直徑，|MN|=4．
∴${S}_{△PMN}=\frac{1}{2}|PM|•|PN|≤\frac{1}{4}（|PM{|}^{2}+|PN{|}^{2}）$=$\frac{1}{4}|MN{|}^{2}=4$．
當且僅當|PM|=|PN|=2$\sqrt{2}$時，△PMN取最大值4．
綜上，△PMN面積的最大值為4．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，屬中檔題．