Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0， ]，m∈R．
（1）設(shè)t=sinx+cosx，x∈[0， ]，將f（x）表示為關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式g（t），并求出t的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥0對(duì)所有的x∈[0， ]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0， ]上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閠=sinx+cosx= ，x∈[0， ]，所以t∈[1， ]，sinxcosx= ．

所以g（t）=mt﹣4 =﹣2t2+mt+2．

（2）解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f（x）≥0對(duì)所有的x∈[0， ]恒成立，

據(jù)（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0對(duì)所有的t∈[1， ]恒成立，

所以 ，得m≥ ．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[ ，+∞）．

（3）解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0， ]上有實(shí)數(shù)解，

據(jù)（1）可知關(guān)于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1， ]上有實(shí)數(shù)解，

即關(guān)于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1， ]上有實(shí)數(shù)解，

所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．

令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t= ，

①當(dāng)m≥12時(shí)，對(duì)稱軸t≥3，函數(shù)h（t）在t∈[1， ]上單調(diào)遞減，

故 ，解得m不存在．

②當(dāng)m≤4時(shí)，對(duì)稱軸t≤1，函數(shù)h（t）在t∈[1， ]上單調(diào)遞增，

故 ，解得2+ ≤m≤4．

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2+ ，4]．

【解析】（1）利用輔助角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論；（2）據(jù)（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0對(duì)所有的t∈[1， ]恒成立，所以 ，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）據(jù)（1）可知關(guān)于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1， ]上有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1， ]上有實(shí)數(shù)解，分類討論，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．