Question

10．某班級數學興趣小組為了研究人的腳的大小與身高的關系，隨機抽測了20位同學，得到如下數據：

序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高x（厘米）	192	164	172	177	176	159	171	166	182	166
腳長y（碼）	48	38	40	43	44	37	40	39	46	39

序號	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
身高x（厘米）	169	178	167	174	168	179	165	170	162	170
腳長y（碼）	43	41	40	43	40	44	38	42	39	41

（Ⅰ）請根據“序號為5的倍數”的幾組數據，求出y關于x的線性回歸方程
（Ⅱ）若“身高大于175厘米”為“高個”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個”；“腳長大于42碼”為“大碼”，“腳長小于等于42碼”的為“非大碼”．請根據上表數據完成2×2列聯表：并根據列聯表中數據說明能有多大的可靠性認為腳的大小與身高之間有關系？
（Ⅲ）若按下面的方法從這20人中抽取1人來核查測量數據的誤差：將一個標有1，2，3，4，5，6的正六面體骰子連續(xù)投擲兩次，記朝上的兩個數字的乘積為被抽取人的序號，求：抽到“無效序號（超過20號）”的概率．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$．

Answer 1

分析 （I）分別求出$\overline{x}$，$\overline{y}$的值，求出$\widehat$，$\widehat{a}$的值，代入回歸方程即可；
（II） 根據高個和大腳的描述，統(tǒng)計出大腳，高個，非大腳和非高個的數據，填入列聯表，再在合計的部分填表；
（III）先計算出投擲兩次出現情況的總數，再分計算抽到“無效序號（超過20號）”的情況數結合概率的計算公式即可求得抽到“無效序號（超過20號）”的概率．

解答 解：（Ⅰ）“序號為5的倍數”的幾組數據：
x₁=176，x₂=166，x₃=168，x₄=170，
y₁=44，y₂=39，y₃=40，y₄=41，
則$\overline x=170，\overline y=41$，所以$b=\frac{1}{2}，a=-44$，
從而y關于x的線性回歸方程是$\hat y=\frac{1}{2}x-44$．  …（6分）
（Ⅱ）2×2列聯表：

	高 個	非高個	合計
大腳	5	2	7
非大腳	1	12	13
合計	6	14	20

${k^2}=\frac{{20×{{（5×12-1×2）}^2}}}{6×14×7×13}≈8.802＞7.879$，
有99.5%的把握認為：人的腳的大小與身高之間有關系．…（10分）
（Ⅲ）$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$．   …（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗，包括數據的統(tǒng)計，是一個中檔題，本題在個別省份作為高考題目出現過，要引起同學們注意．