Question

已知函數(shù)，f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，x≤0

，g(x)=clnx+b，且x=

2

是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．
（1）若方程f（x）-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若直線L是函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線，且直線L與函數(shù)Y=G（X）的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），x0∈[e-1，e]，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用x=

2

是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，求出a的值；函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)分別求出兩個(gè)函數(shù)的切線方程，利用方程相等，對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可求出關(guān)于實(shí)數(shù)b的等式，再借助于其導(dǎo)函數(shù)即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，f′（

2

）=0，∴[2+2

2

（1-a）-2a]e

2

=0，
∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，∴a=1，
∴x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2x）e^x，
∴f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x．
令f'（x）=0得x=

2

（x=-

2

舍去）
當(dāng)x＞0時(shí)，

∴當(dāng) x∈（0，

2

）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng) x∈（

2

，+∞），f（x）單調(diào)遞增，
∴x＞0時(shí)，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）
要使方程f（x）-m=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
①當(dāng)b＞0時(shí)，m=0或 m=（2-2

2

）e

2

；
②當(dāng)b=0時(shí)，m∈（（2-2

2

）e

2

，0）；
③當(dāng)b＜0時(shí)，m∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）
（2）x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2x）e^x，f'（x）=（x²-2）e^x，∴f（2）=0，f'（2）=2e²．
函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線l的方程為：y=2e²（x-2），
∵直線l與函數(shù)g（x）的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，∴y₀=clnx₀+b，g′(x)=

c

x

∴切線l的斜率為 g′（x₀）=

c

x0

∴切線l的方程為：y-y₀=

c

x0

（x-x₀），即y=

c

x0

x-c+b+clnx₀，
∴

c x0 =2e2 -c+b+clnx0=-4e2

，∴

c=2e2x0 b=c-clnx0-4e2

∴b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2），其中x₀∈[e^-1，e]
記h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2），其中x₀∈[e^-1，e]，h'（x₀）=-2e²lnx₀，
令h'（x₀）=0，得x₀=1．

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．
∵x₀∈[e^-1，e]，∴h（x₀）∈[-4e²，-2e²]，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為：{b|-4e²≤b≤-2e²}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．