Question

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，設(shè)，.

（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求證：對(duì)于任意的，總存在，滿足，又若方程在上有唯一解，請(qǐng)確定t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得，從而可得在，上遞增，在上遞減，從而確定的取值范圍；

（Ⅱ）借助（Ⅰ）可知，在處取得極小值，求出，則在，上的最小值為，從而得證；

（Ⅲ）化簡(jiǎn)，從而將化為，令，則證明方程在上有解，并討論解的個(gè)數(shù)；由二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，

令，得：或；令，得：

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

要使在為單調(diào)函數(shù)，則

所以的取值范圍為

（Ⅱ）證：因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值.

又，所以在的最小值為，

從而當(dāng)時(shí)，，即 .

（Ⅲ）證：因?yàn)?/span>，所以，即為

令，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程在上有解，

并討論解的個(gè)數(shù)，因?yàn)?/span>，

當(dāng)或時(shí)，，所以在上有解，且只有一解.

②當(dāng)時(shí)，且，但由于，所以在上有解，且有兩解

③當(dāng)時(shí)，由得：或，在上有且只有一解；

當(dāng)時(shí)，由得：或，所以在上也只有一解

綜上所述，對(duì)任意的，總存在，滿足

當(dāng)方程在上有唯一解，的取值范圍為