Question

【題目】已知四棱錐，底面為菱形， ,H為上的點(diǎn)，過的平面分別交于點(diǎn)，且平面．

（1）證明： ；

（2）當(dāng)為的中點(diǎn)， ，與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．由題意可證得平面，則．由線面平行的性質(zhì)定理可得，據(jù)此即可證得題中的結(jié)論；

（2）結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.

（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)?/span>為菱形，所以，且為、的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>且平面，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以．

因?yàn)?/span>平面， 平面，且平面平面，

所以，所以．

（2）由（1）知且，因?yàn)?/span>，且為的中點(diǎn)，

所以，所以平面，所以與平面所成的角為，

所以，所以，因?yàn)?/span>，所以．

分別以， ， 為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

，

所以．

記平面的法向量為，則，

令，則，所以，

記平面的法向量為，則，

令，則，所以，

記二面角的大小為，則．

所以二面角的余弦值為 ．