1.已知拋物線:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F在雙曲線:$\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{6}$=1的右準(zhǔn)線上,拋物線與直線l:y=k(x-2)(k>0)交于A,B兩點(diǎn),AF,BF的延長(zhǎng)線與拋物線交于C,D兩點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)若△AFB的面積等于3,求k的值;
(3)記直線CD的斜率為kCD,證明:$\frac{{{k_{CD}}}}{k}$為定值,并求出該定值.

分析 (1)根據(jù)雙曲線的右準(zhǔn)線方程求出拋物線的焦點(diǎn)F,得出焦距p,即可寫出拋物線方程;
(2)設(shè)出拋物線上兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo),由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k(x-2)\end{array}\right.$消去x,根據(jù)△AFB的面積和根與系數(shù)的關(guān)系即可求出k的值;
(3)設(shè)出拋物線上點(diǎn)C、D,利用向量法和三點(diǎn)共線的知識(shí),求出點(diǎn)C與D的坐標(biāo)表示,再計(jì)算CD的斜率,即可證明$\frac{{{k_{CD}}}}{k}$為定值.

解答 解:(1)雙曲線:$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$的右準(zhǔn)線方程為:x=1;
所以拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),p=2;
所以拋物線的方程為:y2=4x;…(4分)
(2)設(shè)拋物線上兩點(diǎn)$A(\frac{y_1^2}{4},{y_1}),B(\frac{y_2^2}{4},{y_2})$,
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k(x-2)\end{array}\right.$,
得ky2-4y-8k=0,
所以△=16+32k2>0,
${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k},{y_1}{y_2}=-8$;
△AFB的面積為
${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}×1×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{({y_1}+{y_2})}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$2\sqrt{\frac{1}{k^2}+2}=3$;
解得k=2;…(8分)
(3)設(shè)拋物線上點(diǎn)$C(\frac{y_3^2}{4},{y_3})$,
則$\overrightarrow{FA}=(\frac{y_1^2}{4}-1,{y_1}),\overrightarrow{FC}=(\frac{y_3^2}{4}-1,{y_3})$;
因?yàn)锳,F(xiàn),C共線,
所以$(\frac{y_1^2}{4}-1){y_3}-{y_1}(\frac{y_3^2}{4}-1)=0$,
即$y_3^2+(\frac{4}{y_1}-{y_1}){y_3}-4=0$;
解得:y3=y1(舍)或${y_3}=-\frac{4}{y_1}$;
所以$C(\frac{4}{y_1^2},-\frac{4}{y_1})$,
同理$D(\frac{4}{y_2^2},-\frac{4}{y_2})$,
所以${k_{CD}}=\frac{{-\frac{4}{y_1}+\frac{4}{y_2}}}{{\frac{4}{y_1^2}-\frac{4}{y_2^2}}}$=$-\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=2k$,
故$\frac{{{k_{CD}}}}{k}=2$為定值.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與雙曲線、直線與拋物線的應(yīng)用問題,也考查了弦長(zhǎng)公式以及根與系數(shù)的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求拋物線C的方程;
(2)直線l上的點(diǎn)Q滿足$\frac{2}{{|FQ{|^2}}}=\frac{1}{{|FM{|^2}}}+\frac{1}{{|FN{|^2}}}$,求點(diǎn)Q的軌跡方程.

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