設(shè)F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)A（1，
3
2
）到點(diǎn)F1、F2的距離之和等于4，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是（Ⅰ）中所得橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1P的中點(diǎn)M的軌跡方程．
（Ⅰ）由橢圓上的點(diǎn)A到點(diǎn)F1、F2的距離之和是4，可得2a=4，即a=2．（1分）
又點(diǎn)A（1，
3
2
）在橢圓上，因此
1
22
+
(
3
2
)2
b2
=1，解得b2=3，于是c2=1…（2分）
所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1…（3分）
（Ⅱ）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）．
由（Ⅰ）知，點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（-1，0），則x=
-1+x1
2
，y=
y1
2
，即x1=2x+1y1=2y…（5分）
因此
(2x+1)2
4
+
(2y)2
3
=1，即(x+
1
2
)2+
4y2
3
=1為所求的軌跡方程…（6分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，A、B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上不同于A、B的一點(diǎn)，直線PA、PB斜傾角分別為α、β，則
cos(α-β)
cos(α+β)
=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b，b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓Cl的長(zhǎng)軸三等分，且圓C2的面積為π．橢圓Cl的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A、B，直線EA、EB與橢圓C1的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P、M．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)PM的斜率為t，直線l斜率為K1，求
K1
t
的值；
（ii）求△EPM面積最大時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大2，
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F且斜率為2
2
的直線交軌跡C于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點(diǎn)，P（x3，y3）（x3≥0）為軌跡C上一點(diǎn)，若
OP
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線C上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，且|MF|=3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）若過(guò)定點(diǎn)（-2，0）的直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）若過(guò)定點(diǎn)（-1，0）且傾斜角為
π
6
的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足
OA
•
OB
＜6（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

線段PQ是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1過(guò)M（1，0）的一動(dòng)弦，且直線PQ與直線x=4交于點(diǎn)S，則
|SM|
|SP|
+
|SM|
|SQ|
=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓
x2
a2
+
y2
b
=1（a＞b＞0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF1的中點(diǎn)，求證：∠ATM=∠AF1T．

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