Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

，D是線段AB的垂直平分線上的一點，D到AB的距離為2，過C的曲線E上任一點P滿足|

PA

|+|

PB

|為常數(shù)．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼�，并求出曲線E的方程．
（2）過點D的直線l與曲線E相交于不同的兩點M，N，且M點在D，N之間，若|

DM

|=λ|

DN

|，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系，根據(jù)|

PA

|+|

PB

|=|CA|+|CB|=

2

2

+

3 2

2

=2

2

＞2=|AB|，判斷出曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓．設其長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，則首先可知a，根據(jù)|AB|=4求得c，則b可求得，進而求得橢圓的方程．
（2）設直線l的方程代入橢圓方程，消去y，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁+x₂的表達式，將x₁=λx₂代入兩式相除，根據(jù)k的范圍求得λ的范圍，進而根據(jù)M在D、N中間，判斷出λ＜1，綜合可得答案．

解答： 解：（1）設AB的中點為O．以AB，OD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，
則由已知得：|

PA

|+|

PB

|=|CA|+|CB|=

2

2

+

3 2

2

=2

2

＞2=|AB|，
∴動點的軌跡方程為以A，B為焦點的橢圓，并且a=

2

，c=1，b=1，
∴曲線E的方程為

x2

2

+y2=1．…（4分）
（2）當直線l與y軸重合時，DM=1，DN=3，λ=

DM

DN

=

1

3

…（5分）
當直線l與y軸不重合時，∵D（0，2），∴可令直線MN的方程為y=kx+2．
與曲線E的方程聯(lián)立得（1+2k²）x²+8kx+6=0．
由△=64k²-24（1+2k²）＞0，得k2＞

3

2

．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k

1+2k2

，x1x2=

6

1+2k2

＞0，∴x₁與x₂同號．…（7分）
∵M點在D，N之間，且|

DM

|=λ|

DN

|，∴

DM

與

DN

同方向，λ＞0，
∴λ=

DM

DN

=

xM-xD

xN-xD

=

x1

x2

．
∵λ+

1

λ

=

x1

x2

+

x2

x1

=

(x1+x2)2

x1x2

-2=

20k2-6

3(1+2k2)

=

10

3

-

16

3(2k2+1)

…（9分）
∵k2＞

3

2

，∴2k²+1＞4．
∴0＜

16

3(2k2+1)

＜

4

3

，
∴2＜

10

3

-

16

3(2k2+1)

＜

10

3

．…（10分）
∴2＜λ+

1

λ

＜

10

3

⇒

λ+ 1 λ ＞2 λ+ 1 λ ＜ 10 3

⇒

(λ-1)2＞0 3λ2-10λ+3＜0

⇒

λ≠1 1 3 ＜λ＜3

⇒

1

3

＜λ＜3且λ≠1．
∵M點在D，N之間，∴0＜λ＜1，∴

1

3

＜λ＜1．…（11分）
綜上可得λ的取值范圍是

1

3

≤λ＜1．…（12分）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內(nèi)容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，是高考題�？嫉念愋停�