Question

3．已知f（x）=e^x-1-a（x+1），g（x）=lnx．
（1）求g（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$，x∈（1，+∞）時(shí)，求證：f（x）＞（x-1）g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論：當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）先證明：x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＜x-1，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性可得，令$F（x）=f（x）-{（x-1）^2}={e^{x-1}}-\frac{1}{2}（x+1）-{（x-1）^2}，\;\;F（1）=0$，求出二次導(dǎo)數(shù)，可得F（x）在x∈（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）＞F（1）=0，即可得證．

解答 解：（1）$g'（x）=\frac{1}{x}⇒g'（1）=1$，
故g（x）在（1，0）處的切線為y=x-1．
（2）f'（x）=e^x-1-a；
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，則f（x）在R上單調(diào)遞增，
②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x∈（-∞，1+lna）上單調(diào)遞減，在x∈（1+lna，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）證明：先證明：x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＜x-1，
令$h（x）=lnx-（x-1）⇒h′（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
則x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，故h（x）＜h（1）=0，
即g（x）＜x-1．
故（x-1）g（x）＜（x-1）²，
令$F（x）=f（x）-{（x-1）^2}={e^{x-1}}-\frac{1}{2}（x+1）-{（x-1）^2}，\;\;F（1）=0$，
則$F'（x）={e^{x-1}}-2x+\frac{3}{2}$（x＞1），$F'（1）=\frac{1}{2}$．
而F''（x）=e^x-1-2=0⇒x=1+ln2，
故F'（x）在x∈（1，1+ln2）上單調(diào)遞減，在x∈（1+ln2，+∞）上單調(diào)遞增，$F'{（x）_{min}}=F'（1+ln2）=\frac{3}{2}-2ln2=\frac{3-4ln2}{2}=\frac{{ln{e^3}-ln16}}{2}$，
由于e³＞16，故F'（x）_min＞0，
所以F'（x）＞0在x∈（1，+∞）內(nèi)恒成立，
故F（x）在x∈（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）＞F（1）=0，
所以f（x）＞（x-1）²＞（x-1）g（x），
故問題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，以及構(gòu)造法，不等式的證明方法：分析法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．