直線(xiàn)l過(guò)x軸上的點(diǎn)M，l交橢圓
x2
8
+
y2
4
=1于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若M的坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)OA⊥OB時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；
（2）若M的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k（k≠0），是否存直線(xiàn)l，使得l垂直平分橢圓的一條弦？如果存在，求k的取值范圍；如果不存在，說(shuō)明理由．
（1）k不存在時(shí)，顯然不成立；
令直線(xiàn)l：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x2+2y2=8
y=k(x-2)
，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0，
∴x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1x2=
8(k2-1)
1+2k2
，
由OA⊥OB，得x1x2+y1y2=0，即x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=0，
∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0，
韋達(dá)定理代入，得（1+k2）•
8(k2-1)
1+2k2
-2k2•
8k2
1+2k2
+4k2=0，
∴k=±
2
，
∴直線(xiàn)l：y=±
2
(x-2)；
（2）令A(yù)B中點(diǎn)（x0，y0），由A（x1，y1），B（x2，y2），得
x21
8
+
y21
4
=1，(1)
x22
8
+
y22
4
=1，(2)

（1）-（2），得
(x1-x2)(x1+x2)
2
+(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴
x0
2
+kAB•y0=0，即
x0
2
-
1
k
•y0=0①
又因?yàn)锳B中點(diǎn)（x0，y0）在直線(xiàn)l上，所以y0=k（x0-2）②
由①②得x0=2，y0=k，
∵中點(diǎn)（x0，y0）在橢圓內(nèi)，
∴
x20
8
+
y20
4
＜1，即-
2
＜k＜
2
，且k≠0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

曲線(xiàn)y=x2上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x+y+4=0的最短距離是（　�。�
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)C1：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F以及橢圓C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：x2+y2=1上．
（1）求拋物線(xiàn)C1和橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C1于A，B兩不同點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，則λ1+λ2是否為定值？若是，求出其值；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，短軸長(zhǎng)為2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）從定點(diǎn)M（0，2）任作直線(xiàn)l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，記線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為P，試求點(diǎn)P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）d的離心率為
2
2
，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4（
2
+1）．一等軸雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線(xiàn)上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線(xiàn)PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（1）求橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在常熟λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，橢圓C上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F距離的最小值與最大值之積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線(xiàn)l過(guò)橢圓C內(nèi)一點(diǎn)M（m，0），與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)．對(duì)給定的m值，若存在直線(xiàn)l及直線(xiàn)母x=-2上的點(diǎn)N，使得△PNQ的垂心恰為點(diǎn)F，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知橢圓
x2
3
+
y2
2
=1，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，若直線(xiàn)L過(guò)F與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且
AF
=2
FB
，則直線(xiàn)L的方程為：______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
2
+
y2
4
=1兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿(mǎn)足
PF1
•
PF2
=1，過(guò)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證：直線(xiàn)AB的斜率為定值；
（3）求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

設(shè)P為拋物線(xiàn)y=x2上一點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)到直線(xiàn)x-y+2=0的距離最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

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