Question

5．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2≥0}\\{x+2y+1≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，則z=（x+1）²+（y-2）²的最小值是$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2≥0}\\{x+2y+1≤0}\\{y≥0}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，
則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)D（-1，2）的距離平方的最小值；
由圖象可知，當(dāng)DP垂直于直線(xiàn)x+2y+1=0時(shí)，
此時(shí)DP最小，|DP|=$\frac{|-1+4+1|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
則z=|DP|²=$\frac{16}{5}$，
故答案為：$\frac{16}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．