Question

已知f（x）=asin2x+bcos2x（a，b為常數(shù)），若對于任意x∈R都有f（x）≥f（

5π

12

），則方程f（x）=0在區(qū)間[0，π]內(nèi)的解為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由f（x）≥f（

5π

12

），可知f（

5π

12

）是函數(shù)f（x）的最小值，利用輔助角公式求出a，b的關系，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進求解即可．

解答： 解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ）其中tanθ=

b

a

，
由f（x）≥f（

5π

12

），則f（

5π

12

）是函數(shù)f（x）的最小值，
即f（

5π

12

）=-

a2+b2

，
∴f（

5π

12

）=asin?

5π

6

+bcos?

5π

6

=

1

2

a-

3

2

b=-

a2+b2

，
即a-

3

b=-2

a2+b2

，
平方得，a2-2

3

ab+3b2=4a2+4b2，
即3a2+2

3

ab+b2=0，
∴(

3

a+b)2=0，解得b=-

3

a，
∵tanθ=

b

a

=-

3

，不妨設θ=-

π

3

，
則f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x-

π

3

），
由f（x）=

a2+b2

sin（2x-

π

3

）=0，
解得2x-

π

3

=kπ，
即x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴當k=0時，x=

π

6

，
當k=1時，x=

π

2

+

π

6

=

2π

3

，
故x=

2π

3

或=

π

6

．
故答案為：

π

6

或

2π

3

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的輔助角公式是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．