Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公比q＞0，S₂=2a₂-2，S₃=a₄-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）先求出a₃=a₄-2a₂，從而q²-q-2=0，解得q=2，再由a₂=a₁+2，得a₁=2，從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法能求出{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公比q＞0，
S₂=2a₂-2，S₃=a₄-2，
∴S₃-S₂=a₄-2a₂，即a₃=a₄-2a₂，
∴q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）．
又a₁+a₂=2a₂-2，∴a₂=a₁+2，
∴a₁q=a₁+2，代入q=2，解得a₁=2，
∴${a}_{n}=2×{2}^{n-1}$=2ⁿ．
（2）∵b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．