3.已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-2,2]的奇函數(shù),若f(x)+x•f′(x)>0,則不等式(-x+1)•f(1-x)>0的解集是[-1,1).

分析 構造函數(shù),設g(x)=xf(x),求導,根據(jù)題意得到函數(shù)g(x)為增函數(shù),則求出g(0)=0,則不等式(-x+1)•f(1-x)>0轉化為g(-x+1)>g(0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的定義域即可求出不等式的解集.

解答 解:設g(x)=xf(x),
∴g′(x)=f(x)+x•f′(x)>0,
∴g(x)在[-2,2]上為增函數(shù),
∵函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-2,2]的奇函數(shù),
∴g(0)=0×f(0)=0
∵(-x+1)•f(1-x)>0
∴g(-x+1)>g(0)
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-x+1≤2}\\{-x+1>0}\end{array}\right.$,
解得-1≤x<1,
故不等式的解集為[-1,1),
故答案為[-1,1).

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的應關系,以及不等式的解集的求法,關鍵是構造函數(shù),屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(2)若b>a>0,求證:f(b)-f(a)>$\frac{2ab-2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$.

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(Ⅰ)下列說法中,正確的是②③
①當x∈(1,2)時,截面多邊形為正六邊形;
②函數(shù)f(x)的圖象關于$x=\frac{3}{2}$對稱;
③任取x1,x2∈[1,2]時,f(x1)=f(x2).
(Ⅱ)函數(shù)y=f(x)單調(diào)區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間(2,3).

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(1)求f′(x)的單調(diào)區(qū)間;
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A.b=($\sqrt{2}$-1)aB.b=($\sqrt{2}$+1)aC.b=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$aD.b=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$a

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